Экология и безопасность жизнедеятельности



         

Динамика популяций - часть 2


тогда (9.4) можно переписать в виде

        
            (9.6)

Возвращаясь к исходному уравнению (9.2), заметим, что если x0=

 (т. е. z0=k), то задача Коши имеет решение x(t)
x0 (рис. 9.1). Если x0 <
, то уравнение (9.6) интегрируется следующим образом

ln z – ln(k-z)=ln z0- ln (k-z0)+k(t-t0),

откуда

,                   (9.7)

значит,

, t > 0             (9.8)

Если x0

>

, то аналогично предыдущему случаю снова получаем формулу (9.8). Дифференцируя (9.8) по t, имеем

,                 (9.9)

откуда вытекает, что при x0

<

 график функции х(t)

монотонно возрастает, а при x0>

 – монотонно убывает, причем оба графика имеют горизонтальную асимптоту х=
 (рис. 9.1). Мы не приводим здесь элементарную, но громоздкую формулу второй производной d2x/dt2, показывающую, что верхний и нижний графики имеют по одной точке перегиба.

Мы рассмотрели весьма упрощенную ситуацию, так как предполагали, что популяция не взаимодействует ни с какими другими популяциями, учет же этого обстоятельства, конечно, значительно усложняет модель.

Рассмотрим одну из таких моделей. Будем обозначать биомассы двух популяций через х и у соответственно. Предположим, что обе популяции потребляют один и тот же корм, количество которого ограничено, и из-за этого находятся в конкурентной борьбе друг с другом.

Французский математик В. Вольтерра в 1926 г. показал, что при таком предположении динамика популяций достаточно хорошо описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

,                (9.10)

где

 –

определенные положительные числа.

Первые члены правых частей системы (9.10) характеризуют скорость роста популяций при отсутствии ограничивающих факторов. Вторые члены учитывают те изменения в скоростях, которые вызываются ограниченностью корма.

Задавая различные значения параметров, с помощью системы (9.10) можно описать взаимодействие двух популяций, одна из которых – хищник, а другая – жертва [36]. В литературе [47] более подробно описаны математические аспекты исследования системы (9.10).




Содержание  Назад  Вперед