то задача Коши имеет решение
тогда (9.4) можно переписать в виде
(9.6)
Возвращаясь к исходному уравнению (9.2), заметим, что если x0=
(т. е. z0=k), то задача Коши имеет решение x(t)
x0 (рис. 9.1). Если x0 <
, то уравнение (9.6) интегрируется следующим образом
ln z – ln(k-z)=ln z0- ln (k-z0)+k(t-t0),
откуда
, (9.7)
значит,
, t > 0 (9.8)
Если x0
>
, то аналогично предыдущему случаю снова получаем формулу (9.8). Дифференцируя (9.8) по t, имеем
, (9.9)
откуда вытекает, что при x0
<
график функции х(t)
монотонно возрастает, а при x0>
– монотонно убывает, причем оба графика имеют горизонтальную асимптоту х=
(рис. 9.1). Мы не приводим здесь элементарную, но громоздкую формулу второй производной d2x/dt2, показывающую, что верхний и нижний графики имеют по одной точке перегиба.
Мы рассмотрели весьма упрощенную ситуацию, так как предполагали, что популяция не взаимодействует ни с какими другими популяциями, учет же этого обстоятельства, конечно, значительно усложняет модель.
Рассмотрим одну из таких моделей. Будем обозначать биомассы двух популяций через х и у соответственно. Предположим, что обе популяции потребляют один и тот же корм, количество которого ограничено, и из-за этого находятся в конкурентной борьбе друг с другом.
Французский математик В. Вольтерра в 1926 г. показал, что при таком предположении динамика популяций достаточно хорошо описывается следующей системой дифференциальных уравнений:
, (9.10)
где
–
определенные положительные числа.
Первые члены правых частей системы (9.10) характеризуют скорость роста популяций при отсутствии ограничивающих факторов. Вторые члены учитывают те изменения в скоростях, которые вызываются ограниченностью корма.
Задавая различные значения параметров, с помощью системы (9.10) можно описать взаимодействие двух популяций, одна из которых – хищник, а другая – жертва [36]. В литературе [47] более подробно описаны математические аспекты исследования системы (9.10).
Содержание Назад Вперед
Forekc.ru
Рефераты, дипломы, курсовые, выпускные и квалификационные работы, диссертации, учебники, учебные пособия, лекции, методические пособия и рекомендации, программы и курсы обучения, публикации из профильных изданий