Прежде чем исследовать, как будет

Прежде чем исследовать, как будет вести себя система (9.10), заметим, что в любой момент времени t ее состояние полностью описывается значениями х и у:

каждому состоянию системы соответствует некоторая точка (х, у) на плоскости хОу, называемой «фазовой плоскостью». Каждой точке фазовой плоскости можно поставить в соответствие вектор (стрелку на рис. 9.2) с координатами, которые являются правыми частями системы, указывающий направление движения в этой точке. Проведя из начальной точки линии, касательные этим векторам, получим траектории, по которым будет происходить движение системы, т. е. решения задачи Коши для системы (9.10) с начальными условиями

x(t0)=x0, y(t0)=y0, (х0,у0)Î

х0у. (9.11)

Чтобы составить представление о траекториях движения системы, построим линии, на которых х=0 (здесь векторы параллельны оси Оу) и у

= 0 (здесь векторы параллельны оси Ох). Для

краткости обозначим производную

– через х, а

– через у. Имеем

х=0,

когда

,

у=0,

когда

,

т. е. х = 0 на двух прямых в фазовой плоскости:

х=0 и

,

а у=0 также на двух прямых:

у=0

и

(рис. 9.2, 9.3).

По этим рисункам можно сделать следующие выводы. В обоих случаях имеем три стационарные точки, в которых одновременно х=0 и у=0, а именно: (0,0), (0,

) и (0,

), которые по известной классификации являются узлами. При этом, если

(рис. 9.2), то устойчивым является только узел (

, 0), а если

(рис. 9.3), то узел (0,

). Таким образом, если

, то вторая популяция вымирает, y(t) > 0, t >

, а первая стабилизируется, x(t) >

, t >

. Если же

, то имеем обратную картину: первая популяция вымирает, x(t) > 0, t>

, а вторая стабилизируется, x(t) >

, t>

. Наконец, если

, то кроме неустойчивого узла (0,0) имеем линию стационарных точек – отрезок прямой

(рис. 9.3).

В дальнейших рассмотрениях будем для простоты считать, что k1=k2=k и ?1= ?2= ?. Тогда, деля второе уравнение системы (9.10) на первое, получим

,

откуда

, (9.12)

Содержание Назад Вперед

Forekc.ru
Рефераты, дипломы, курсовые, выпускные и квалификационные работы, диссертации, учебники, учебные пособия, лекции, методические пособия и рекомендации, программы и курсы обучения, публикации из профильных изданий