Экология и безопасность жизнедеятельности



         

Динамика популяций - часть 3


Прежде чем исследовать, как будет вести себя система (9.10), заметим, что в любой момент времени t ее состояние полностью описывается значениями х и у:

каждому состоянию системы соответствует некоторая точка (х, у) на плоскости хОу, называемой «фазовой плоскостью». Каждой точке фазовой плоскости можно поставить в соответствие вектор (стрелку на рис. 9.2) с координатами, которые являются правыми частями системы, указывающий направление движения в этой точке. Проведя из начальной точки линии, касательные этим векторам, получим траектории, по которым будет происходить движение системы, т. е. решения задачи Коши для системы (9.10) с начальными условиями

x(t0)=x0, y(t0)=y0,          (х0,у0)Î

х0у.      (9.11)

Чтобы составить представление о траекториях движения системы, построим линии, на которых  х=0 (здесь векторы параллельны оси Оу) и у

= 0 (здесь векторы параллельны оси Ох). Для

краткости обозначим производную

 – через х, а
 – через  у. Имеем

х=0,

когда

,

у=0,

когда

,

т. е. х = 0 на двух прямых в фазовой плоскости:

х=0 и

=
,

а у=0 также на двух прямых:

у=0

и

=
 (рис. 9.2, 9.3).

По этим рисункам можно сделать следующие выводы. В обоих случаях имеем три стационарные точки, в которых одновременно х=0 и у=0, а именно: (0,0), (0,

) и (0,
), которые по известной классификации являются узлами. При этом, если
>
 (рис. 9.2), то устойчивым является только узел (
, 0), а если
<
 (рис. 9.3), то узел (0,
). Таким образом, если
>
, то вторая популяция вымирает, y(t) > 0, t >
, а первая стабилизируется, x(t) >
, t >
. Если же
<
, то имеем обратную картину:  первая популяция вымирает, x(t) > 0, t>
, а вторая стабилизируется, x(t) >
, t>
. Наконец, если
=
=
, то кроме неустойчивого узла (0,0) имеем линию стационарных точек – отрезок прямой 
=
 (рис. 9.3).

В дальнейших рассмотрениях будем для простоты считать, что k1=k2=k и ?1= ?2= ?. Тогда, деля второе уравнение системы (9.10) на первое, получим

=
,

откуда

,                  (9.12)




Содержание  Назад  Вперед