Экология и безопасность жизнедеятельности



         

Игровые модели - часть 2


Число 4, стоящее на пресечении первой строки и второго столбца, носит название цены игры, т. е. платы, которую получает оптимально играющий игрок. Таким образом, в этом примере гарантированный выигрыш А – не менее 4-х единиц и гарантированный проигрыш В – не более 4-х единиц (он равен 4 единицам, если оба игрока играют оптимально).

Если оказывается, что для данной платежной матрицы минимум в какой-либо строке совпадает с максимумом в каком-либо столбце, то эти строка и столбец называются оптимальными, а их пересечение – седловой точкой

платежной матрицы. Соответствующее число и будет ценой игры.

Однако далеко не каждая матрица имеет седловую точку, например, матрица

 седловой точки не имеет. Говорить здесь о максимизации наименьшего возможного выигрыша (минимизации наибольшего возможного проигрыша) возможно только при использовании так называемой смешанной стратегии при многократной игре с одной и той же платежной матрицей. Суть этой стратегии заключается в выборе разных стратегий с определенными частотами. Итак, пусть А выбирает первую строку с частотой х, а вторую – с частотой (1 – х).

Аналогично для В соответствующие частоты обозначим через у и (1 –у). Тогда средний выигрыш А, обозначаемый через Е (х, у), равен

Е(х,у)=4(1-х)у+х(1-у)=х+4у-5ху.            

(11.17)

Нас интересует величина max min E(x,y). Имеем

 x         y

Еу=4-5х,                

(11.18)

откуда Еу>0

при

, Ey=0 при х=
 и Еу<0 при
. Значит,

(график на рис. 11.7). Следовательно,

                     (11.19)

и оптимальной смешанной  стратегией для А будет выбор первой строки с частотой

 и второй строки – с частотой
. Средний проигрыш В, обозначаемый F(x,y),

очевидно равен –Е (х, у). Нас интересует величина

где

F(x,y)=5xy-x-4y.                 (11.20)

Имеем Fx=5y-1, откуда Fx< 0 при

, Fx = 0 при y =
 и Fx>0 при
< у ? 1. Значит,

(график на рис. 11.8). Следовательно,

                  (11.21)

и оптимальной стратегией для А

будет выбор первого столбца с частотой

 и второго столбца – с частотой
.




Содержание  Назад  Вперед