Экология и безопасность жизнедеятельности



         

Игровые модели - часть 3


При оптимальных смешанных стратегиях выигрыш А и соответственно проигрыш В

в пять раз меньше максимально возможного при одиночной игре.

Отметим также, что в рассмотренном примере мы показали существование оптимальных стратегий и установили равенство

;                (11.22)

при  этом  величину  Е(х,у)  можно  трактовать как математическое ожидание выигрыша, а величину v =

 определить как цену игры.

Рассмотрим теперь общий случай прямоугольной матрицы

.

При любой допустимой стратегии игрока A: x1 ? 0, ...,хm ? 0, x1 +x2+…+xm=1 и любой допустимой стратегии игрока В: y1 ? 0, ...,ym ? 0, y1 +y2+…+ym=1 математическое ожидание выигрыша равно

                 (11.23)

Множество допустимых стратегий x = (x1,…,xn) игрока А обозначим через X, а множество допустимых стратегий у=(у1,...,yn) игрока В обозначим через Y.

Рассмотренные выше примеры являются частными случаями общих теорем [18] для игр с прямоугольными матрицами (прямоугольными играми); из них, в частности, вытекает:

1. Величины

 существуют и равны между собой; при этом величина

                (11.24)

является ценой игры.

2. Всякая прямоугольная игра имеет цену; каждый игрок в прямоугольной игре всегда имеет оптимальную стратегию.

3. Пусть Е – математическое ожидание выигрыша в прямоугольной игре с матрицей С, имеющей цену v. Тогда для того, чтобы элемент х* =(х1*,...,х*m)Î Х был

оптимальной стратегией для игрока А,

необходимо и достаточно, чтобы для всякого j =1, 2,...,n базисного вектора y(j) =

 имело место неравенство

v ? E (x*, y(j)).                     (11.25),

Аналогично для того чтобы элемент у*

=(y*1,...,y*n)ÎY был оптимальной стратегией для игрока В, необходимо и достаточно,  чтобы для  всякого элемента  базисного  вектора x(i) =

 имело место неравенство

E (x(i), y*) ? v.                     (11.26)

Покажем теперь на двух примерах, как можно применить эти утверждения для вычисления цен и определения оптимальных стратегий для прямоугольных игр. В качестве таких примеров рассмотрим стратегии ловли на удочку и питания рыбы1.




Содержание  Назад  Вперед