По прошествии одного временного интервала

По прошествии одного временного интервала имеем

т. е. a1

= (12, 0, 0) и в популяции уже будет 12 самок младшего возраста. Повторное применение модели дает следующие результаты:

и т.д.

Главное собственное число и собственный вектор матрицы А можно найти известными методами, имея

(9.22)

или полагая

–

систему линейных алгебраических уравнений

определитель которой

Следовательно, главное собственное число ?1 = 2 и собственный вектор в силу (9.23) имеет вид

= (24, 4,1). Остальные собственные числа в силу (9.24) имеют вид ?2

=-1, ?3 =-1. В силу (9.23) собственный вектор

имеет вид

= (6,-2,1). Так как собственное число -1 двукратно, то для нахождения вектора

(называемого присоединенным), решаем систему уравнений (A- ?2)

(9.25)

Нетрудно проверить, что система (9.25) допускает решение

= (0, - 2, 2). Привлекая геометрические соображения, заключаем, что возрастная структура популяции представляется вектором в трехмерном пространстве, в котором векторы

= (24,4, 2),

= (6, - 2,1) и

=

(0, - 2, 2) – базисные, т. е.

(9.26)

где ?0, ?0, ?0 – некоторые положительные числа (например, если

= (258, 30, 17), то ?0=10, ?0=3, ?0=2).

Тогда уравнение (9.21) примет вид:

(9.27)

Так как

> 0, k > ?, то при t=+k > ? популяция возрастает по экспоненциальному закону

(9.28)

Главное собственное число ?1 дает скорость, с которой возрастает размер популяции (в нашем примере за каждый временной интервал популяция удваивается), а собственный вектор

определяет устойчивую возрастную структуру популяции, т. е. отношение численностей особей разных возрастных групп остается постоянным и равным 24:4:1. Нетрудно видеть, что если мы в конце каждого временного интервала будем изымать половину популяции и использовать на корм, то размер ее станет равным исходному

.

Матричные модели очень удобны для расчета на ЭВМ и находят все более широкое применение, например, для анализа круговорота питательных веществ в экосистемах, в различных стохастических моделях [54] (в марковских моделях и т.д.).

Содержание Назад Вперед

Forekc.ru
Рефераты, дипломы, курсовые, выпускные и квалификационные работы, диссертации, учебники, учебные пособия, лекции, методические пособия и рекомендации, программы и курсы обучения, публикации из профильных изданий