равна корню из дисперсии, т.

поэтому из уравнения (10.19) вытекает, что М[Х]=т. Вычислим дисперсию величины X:

Применив снова замену переменной

получим

(10.21)

Интегрируем это выражение по частям:

(10.22)

Следовательно, ? в выражении (10.18) равна корню из дисперсии, т. e. среднему квадратичному отклонению. Итак,

Е[уi]=т, D[yi]=var(yi)=?2. (10.23)

Покажем, что если т=

, то Е

. Действительно,

Применив снова замену х =

,

получим

(10.24)

Вернемся к формуле (10.17), которая в наших предположениях имеет вид

, (10.25)

откуда для среднего значения N(t) получаем выражение

, (10.26)

а для дисперсии D[N] = var(N) –

(10.27)

Теперь имеем

(10.28)

Следовательно,

(10.29)

и коэффициент вариации при t > ? равен

. (10.30)

Из формул (10.26) и (10.30) следует, что хотя, как и в детерминистском случае, среднее значение N(t)

экспоненциально возрастает, экспоненциально возрастают и отклонения от среднего значения. Таким образом, с течением времени колебания численности популяции становятся все более резкими. В этом отражается то обстоятельство, что детерминистская система не имеет стационарного состояния, более того, при определенных соотношениях между а

и ? вероятность ее вымирания приближается к единице.

Найдем вероятность вымирания популяции за время t – функцию p0(t):

Положим

, тогда уt, имеет нормальное распределение, причем

, vaz(yt)=t?2. Следовательно,

Полагая

, имеем

(10.31)

где Ф(х) =

–

так называемый интеграл ошибок.

Если

>0, т. e. ?2>2a, то

> ? при t> ?, следовательно,

Проведенный анализ показывает, что преимущественное использование детерминистских, а не стохастических моделей оправдано лишь тем, что в математическом плане они проще и удобнее. При этом если детерминистская модель свидетельствует об устойчивом равновесии, то соответствующая стохастическая модель предсказывает длительное выживание; если же детерминистская модель не выявляет равновесия или предсказывает неустойчивое равновесие, то стохастическая модель может предсказать вероятность вымирания.

Содержание Назад Вперед

Forekc.ru
Рефераты, дипломы, курсовые, выпускные и квалификационные работы, диссертации, учебники, учебные пособия, лекции, методические пособия и рекомендации, программы и курсы обучения, публикации из профильных изданий