в популяции имелось N0 особей,

(10.5)

а при i

= 0 – уравнение

(10.6)

(естественно считать, p-1(t)?0).

Если в начальный момент времени t=0 в популяции имелось N0 особей, то начальные условия для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (10.4)–(10.6)

имеют вид:

(10.7)

Рассматриваемый процесс гибели и рождения является случайным процессом (классическим примером цепей Маркова [17]), а само решение задачи (10.4)–(10.7) можно получить стандартными методами теории обыкновенных дифференциальных уравнений (см., например, [47]). Нас интересуют следующие вероятностные характеристики: ожидаемое значение, т. е. среднее значение популяции в момент времени t

N(t)=

(t) (10.8)

и вариация (дисперсия), т. е. среднее квадратичное отклонение от N(t)

. (10.9)

Для вычисления N(t)

заметим, что из уравнения (10.5) и первого уравнения из (10.4) вытекает

Продолжая этот процесс сложения, получим

т. е. обыкновенное дифференциальное уравнение

N'(t)=(? - ?)N(t) (10.10)

с начальным условием (10.7)

(10.11)

Решение его, очевидно, равно

N(t)=

, (10.12)

в частности, при ? > ? численность популяции экспоненциально возрастет (при ?=?+a определяется уравнением (10.3)), а при ? < ?

экспоненциально убывает при t

> ?. Аналогично (см. [17]) вычисляется вариация

(10.13)

откуда при ? > ? для коэффициента вариации получаем выражение

(10.14)

которое при t

> ? стремится к величине

. Следовательно, при достаточно больших начальных значениях популяции N0 среднее квадратичное отклонение от N(t) является равномерно малым, и детерминистская модель дает адекватное представление о поведении популяции при больших значениях времени.

Содержание Назад Вперед

Forekc.ru
Рефераты, дипломы, курсовые, выпускные и квалификационные работы, диссертации, учебники, учебные пособия, лекции, методические пособия и рекомендации, программы и курсы обучения, публикации из профильных изданий