в популяции имелось N0 особей,
а при i
= 0 – уравнение
(естественно считать, p-1(t)?0).
Если в начальный момент времени t=0 в популяции имелось N0 особей, то начальные условия для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (10.4)–(10.6)
имеют вид:
Рассматриваемый процесс гибели и рождения является случайным процессом (классическим примером цепей Маркова [17]), а само решение задачи (10.4)–(10.7) можно получить стандартными методами теории обыкновенных дифференциальных уравнений (см., например, [47]). Нас интересуют следующие вероятностные характеристики: ожидаемое значение, т. е. среднее значение популяции в момент времени t
N(t)=
и вариация (дисперсия), т. е. среднее квадратичное отклонение от N(t)
Для вычисления N(t)
заметим, что из уравнения (10.5) и первого уравнения из (10.4) вытекает
Продолжая этот процесс сложения, получим
т. е. обыкновенное дифференциальное уравнение
N'(t)=(? - ?)N(t) (10.10)
с начальным условием (10.7)
Решение его, очевидно, равно
N(t)=
в частности, при ? > ? численность популяции экспоненциально возрастет (при ?=?+a определяется уравнением (10.3)), а при ? < ?
экспоненциально убывает при t
> ?. Аналогично (см. [17]) вычисляется вариация
откуда при ? > ? для коэффициента вариации получаем выражение
которое при t
> ? стремится к величине
