в популяции имелось N0 особей,
(
10.5)
а при i
= 0 – уравнение
(10.6)
(естественно считать, p-1(t)?0).
Если в начальный момент времени t=0 в популяции имелось N0 особей, то начальные условия для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
(10.4)–(10.6)
имеют вид:
(
10.7)
Рассматриваемый процесс гибели и рождения является случайным процессом (классическим примером цепей Маркова [17]), а само решение задачи
(10.4)–(10.7) можно получить стандартными методами теории обыкновенных дифференциальных уравнений (см., например, [47]). Нас интересуют следующие вероятностные характеристики: ожидаемое значение, т. е. среднее значение популяции в момент времени t
N(t)=
(t) (
10.8)
и вариация (дисперсия), т. е. среднее квадратичное отклонение от N(t)
. (
10.9)
Для вычисления N(t)
заметим, что из уравнения (10.5) и первого уравнения из (10.4) вытекает
Продолжая этот процесс сложения, получим
т. е. обыкновенное дифференциальное уравнение
N'(t)=(? - ?)N(t) (
10.10)
с начальным условием (10.7)
(
10.11)
Решение его, очевидно, равно
N(t)=
, (
10.12)
в частности, при ? > ? численность популяции экспоненциально возрастет (при ?=?+a определяется уравнением (
10.3)), а при ? < ?
экспоненциально убывает при t
> ?. Аналогично (см. [17]) вычисляется вариация
(
10.13)
откуда при ? > ? для коэффициента вариации получаем выражение
(
10.14)
которое при t
> ? стремится к величине
. Следовательно, при достаточно больших начальных значениях популяции N0 среднее квадратичное отклонение от N(t) является равномерно малым, и детерминистская модель дает адекватное представление о поведении популяции при больших значениях времени.
Содержание Назад Вперед
Forekc.ru
Рефераты, дипломы, курсовые, выпускные и квалификационные работы, диссертации, учебники, учебные пособия, лекции, методические пособия и рекомендации, программы и курсы обучения, публикации из профильных изданий