Экология и безопасность жизнедеятельности


         

Случайные процессы при описании популяций


Рассматриваемые выше модели – детерминистские. Это должно иметь какие-то основания, которые мы и попытаемся сейчас обсудить.

Если речь идет о динамике популяций, то можно выделить по крайней мере два аспекта, по которым детерминистская модель не может служить точным отражением реальной экологической системы: во-первых, она допускает бесконечно большую численность популяции; во-вторых, не учитывает случайных колебаний, происходящих в среде во времени.

В качестве примера детерминистской экологической модели рассмотрим уравнение

,               (10.1)

где N – число особей в момент времени t,

а –

истинная скорость роста.

Решением этого уравнения, удовлетворяющим начальному условию

N(0)=No,                  (10.2)

является функция

N(t)=N0eat,              (10.3)

(так называемый закон Мальтуса – закон роста популяции без конкуренции). В основе главного допущения здесь лежит то, что за короткий промежуток времени t

каждая особь порождает a?t новых особей.

В соответствующей стохастической модели принимается более правдоподобное допущение, согласно которому за период ?t одна особь с вероятностью ? производит одного потомка и с вероятностью ??t умирает. Обозначим через рi(t) вероятность того, что в момент времени t численность популяции равна i, i = 0, 1, 2, ... Рассмотрим величину pi(t + ?t). В силу малости ?t можно считать, что численность популяции останется прежней, равной i, в результате трех независимых событий – появления потомков в популяции с численностью i–1, отсутствия случаев рождения и смерти в популяции с численностью i и смерти в популяции с численностью i+1. При этом вероятность pi(t + ?t) равна сумме вероятностей этих событий:

pi(t + ?t) = (i-1) ? pi-1 (t) ?t+(1-i(?+?)pi(t) ?t+(i+1) ?i+1(t) ?t , откуда

(i-1) ? pi-1 (t)- i(?+?)pi(t)+ (i+1) ?i+1(t).

Переходя в полученном соотношении к пределу при t > ?, получим систему уравнений Колмогорова

 (10.4)

В виде (10.4) уравнения справедливы при i= 2, 3, 4, .... При i = 1 из (10.4) получаем уравнение



Содержание  Назад  Вперед





Forekc.ru
Рефераты, дипломы, курсовые, выпускные и квалификационные работы, диссертации, учебники, учебные пособия, лекции, методические пособия и рекомендации, программы и курсы обучения, публикации из профильных изданий