Для иллюстрации рассмотрим два простых

Для иллюстрации рассмотрим два простых примера.
Пример 1. f(x) =ex, xÎ
(-¥,+¥), f(“) = eх > 0, следовательно, показательная функция выпукла на всей оси.
Пример 2. f(x) = sin x, xÎ[0,2p], f”(x) = - sin x, следовательно, функция sin x вогнута на отрезке [0, ?] и выпукла на отрезке [?, 2 ?].
Прежде чем сформулировать задачу поиска, отметим, что оптимизационная задача
f(x)
> min, х Î
Р (f(x) > max, х Î Р), (11.11)
где в случае max целевая функция f (х) выпукла, в случае min – вогнута и Р –
полиэдр, называется задачей выпуклого программирования. Ясно, что задача линейного программирования является ее частным случаем.
Задача поиска. Объект, подлежащий обнаружению, находится в одном из п районов с вероятностями р1,..., рп соответственно. Для поиска объекта имеется общий ресурс времени Т (т. е. при t>T поиск считается нецелесообразным). Известно, что при поиске в i-м районе в течение времени ti, вероятность обнаружения объекта (при условии, что он там находится) выражается через функцию Бернулли 1-

, где ai>0 – заданное число (формула показывает, что за бесконечное время ti объект был бы найден). Требуется распределить по районам время наблюдения (поиска) так, чтобы максимизировать вероятность обнаружения объекта. Соответствующая задача оптимизации имеет вид

(11.12)

(11.13)

(11.14)
Из теории вероятностей хорошо известно, что

(11.15)
Кроме того, очевидно, что задача g(x)>max эквивалентна задаче (-g(x))>
min; также очевидно, что условия (11.13) и (11.14) определяют определенный полиэдр Р (рис. 11.6). Следовательно, вводя целевую функцию

получаем следующую оптимизационную задачу:

, (11.16)
где Р– полиэдр, заданный неравенствами (11.13) и (11.14).

Так как

причем

, то функция f(t) выпуклая и мы имеем задачу выпуклого программирования. Общие методы решения таких задач довольно сложны, однако в нашем конкретном случае можно предложить наглядное геометрическое решение.

Содержание Назад Вперед

Forekc.ru
Рефераты, дипломы, курсовые, выпускные и квалификационные работы, диссертации, учебники, учебные пособия, лекции, методические пособия и рекомендации, программы и курсы обучения, публикации из профильных изданий